インプラント

インプラントの両側のご自分の歯から出ている膿が、根の病気なのか？
（根の治療で回復するかどうか）という点が気になります。
歯から膿がでるのは、根の病気と歯周病があります。
治療方法は全く異なります。
インプラント部分から膿が出ていて歯茎を押すと痛いというのは、インプラント周囲炎といって、歯周病のようなものです。
細かいメカニズムはご自身の歯と若干異なるのですが、インプラントも歯周病になります。
軽度であれば歯周病治療と同様な治療である程度回復する場合もありますが（保険は効きません）、重度であるとインプラントを撤去しなくてはなりません。
質問文を見る限り、インプラント周囲炎と両脇の歯の歯周病が併発しているのでは？
と予想されますが、実際の診断は歯科で受けて下さい。
インプラントは人工物である以上、一生ものではありませんし、長期に安定させるためにはメンテナンスが必須です。
埋めるときにその説明を受けたのか？
定期検診を受けるように指示が出ていたのか？
その定期検診には行っていたのか？
ご自身でのメンテナンスはどのくらい行っていたのか？
などが絡んできますが、まずはその埋めた医院で、今後の対応を相談するべきです。
また、医院によっては他院で埋めたインプラントの治療は受け付けない場合がありますので、転院する際は確認が必要ですね。
インプラントに根の治療という概念はありませんので不可能です。
インプラント（根の部分ではなく被せ物）をつなげるかどうかは、その時の状況次第です。